द्विघात समीकरण किसे कहते हैं ? परिभाषा और द्विघात समीकरण के सवाल | Dvighat Samikaran [Quadratic Equation in Hindi]

द्विघात समीकरण परिभाषा | द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना और सवाल | द्विघात समीकरण कैसे हल करें तथा उनके प्रकार |द्विघात समीकरण के सवाल | द्विघात समीकरण सूत्र | dvighat samikaran Hal karne ki Vidhi

Hello दोस्तों, आज हम इस लेख में आपको द्विघात समीकरण के बारे मे बताने वाले हैं तो यदि आप द्विघात समीकरण के बारे मे पूरी जानकारी पान चाहते हैं तो इस लेख को को पूरा जरूर पढ़िए और Dvighat Samikaranसबको बताइए ।

1 से 100 तक वर्गमूल

द्विघात समीकरण किसे कहते हैं

द्विघात समीकरण: परिभाषा: जिस समीकरण मे एक चर वर्ग होता है उसे द्विघात समीकरण कहते है ।

जैसा की हम जानते है द्विघात समीकरण में, एक चर वर्ग में होता है। इस प्रकार के समीकरण को “घात 2 का समीकरण” भी कहा जाता है।
जैसा की बीजीय व्यंजक ax² + bx + c = 0, मे हम देखेंगे (जहाँ a ≠ 0, b, c ∈ R हो) के रूप में लिखे जाने वाले या होने वाले समीकरण द्विघात समीकरण कहा जाता है।

यह समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 के द्विघात समीकरण का एक मानक रूप है। जहाँ a ≠ 0, a, b और c राशियाँ अचर है।

• ax² = यह (Quadratic Term) द्विघात पद है
• a = x² (Coefficient of x²) का गुणांक है
• bx (Linear Term) रैखिक पद है
• b – x (Coefficient of x) का गुणांक है
• c (Constant Term) एक अचर पद है

माना α समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक मूल मे हो, तो द्विघात समीकरण को हम इस प्रकार लिखेंगे । जैसे : aα² + bα + c = 0

द्विघात समीकरण हल करने की सरल विधि

अचर पद वाले द्विघात समीकरण के दो प्रकार के हल होते है, जिन्हें प्रायः α (अल्फा), और β (बीटा) से दरसाया जाता है।

द्विघात समीकरण को हम मुख्यतः तीन प्रकार से हल करते है जो की नीचे दिए गए हैं ।

1. गुणनखंड विधि (Factorisation Method)
2. पूर्ण वर्ग मे बदलकर (Completing the Square)
3. श्रीधरोचार्य विधि (Sridharocharya Method)

1. (Factorisation Method) गुणनखंड विधि

हम x² + x – 110 = 0 का मूल प्राप्त करेंगे या निकलेंगे ।

हल: x² + 11x – 10x – 110 = 0
⇒ x (x + 11) – 10 (x + 11) = 0
⇒ (x + 11) (x – 10) = 0
x + 11 = 0
x = – 11
x – 10 = 0
x = 10
x = 10, -11

2. (Completing the Square) पूर्ण वर्ग विधि

ax² + bx + c = 0 का पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे ।
a ≠ 0
x = -b ± √(b² – 4ac)/2a
ax² + bx + c = 0
दोनों पक्षों में a से विभाजित करने पर,
ax²/a + bx/a + c/a = 0
x² + b/a x + c/a = 0
x² + b/a x = − c/a
दोनों पक्षों में b²/4a² add पर,
x² + b/a x + b²/4a² = b²/4a² − c/a
(x + b/2a)² = (b² – 4ac)/4a²
(x + b/2a) = ± √(b² – 4ac)/√4a²
x = -b/2a ± √(b² – 4ac)/2a
x = -b ± √(b² – 4ac)/2a

3. (Sridharocharya Method)श्रीधरोचार्य विधि

यदि ax² + bx + c = 0 और इनके के मूल α (अल्फा), β (बीटा) हो, तो

(α, β) =  – b ± √D/2a

α = – b + √(b² – 4ac) / 2a
β = – b – √(b² – 4ac) / 2a

जहाँ D = विवेचक होता है और इसे हम इसे हम(विवित्कर, Discriminant) विधि भी कहते है और इसे Depics विधि भी कहा जाता है।

जिसमे D का मान D = b² – 4ac होता है।

मूलों की प्रकृति (Roots of Nature)

यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिये b² − 4ac > 0 हो, तो समीकरण का मूल वास्तविक और असमान हो जाता है ।

अगर द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिये b² − 4ac = 0 हो, तो इसका मूल वास्तविक और सामान होता है।

द्विघात समीकरण के सूत्र एवं परिणाम

Equation ax² + bx + c = 0 का यदि विवेचक/विविक्तकर (Discriminant) अगर b² − 4ac > 0 हो, तो उस दसा मे समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हो जाते हैं।

• अगर समीकरण b² − 4ac = 0 हो, तो इसका मूल रूप वास्तविक और सामान होगा।
• b² − 4ac < 0 हो, तो इस दसा मे मूल काल्पनिक होगा।
• b² − 4ac > 0 हो, तो इस दसा मे मूल वास्तविक और असमान होगा।
• जहा मूलों का योगफल (addition) (α + β) = – b/a और
  = – x का गुणांक (फैक्टर) / (x² का गुणांक)
• जब मूलों का गुणनफल (α . β) = c/a
  = अचर / (x² का गुणांक)

द्विघात समीकरण x² – (α + β) x + (α . β) = 0 तब होता हैं। जब, D = 0 हो, तो α = β = – b / a होता है।

ax² + bx + c = 0 में जब a + b + c = 1 हो, तो इस दस मे इसका एक मूल का मान 1 अवश्य होता है।

द्विघात समीकरण के सवाल

प्रश्न 1. पता करिए कि दिए गए प्रश्नों का द्विघात समीकरण क्या हैं?

(i). x² – 2x = (-2) (3 – x)

हल:- प्रश्नानुसार,
x² – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 4x + 6 = 0
माना की समीकरण ax² + bx + c = 0 type का है, जिसमे a ≠ 0 तथा a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
अत: उपरोक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii). (x + 1)² = 2 (x – 3)

हल:- प्रश्नानुसार,
(x + 1)² = 2 (x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 0x + 7 = 0
माना की समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जिसमे a, b और c रियल नम्बर हैं तथा a ≠ 0
अत: उपरोक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii). (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)

दिए गए प्रश्न के अनुसार
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x² – 2x + x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – 2 = x² + 2x – 3
⇒ 3x – 1 = 0
माना की समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं हैं, यह रैखिक समीकरण(Linear equation) है। क्योंकि यहाँ a = 0 है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv). (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)

प्रश्न के अनुसार
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0
माना की ऊपर दिया हुआ समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जिसमे a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ(रियल नम्बर) हैं और a ≠ 0. अतःउपरोक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v). x² + 3x + 1 = (x – 2)²

हल:- As Per Given Question
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ 7x – 3 = 0
माना की समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं है, है। यह एक रैखिक समीकरण (Linear equation) है। क्योंकि यहाँ a = 0 अतः दिया हुआ समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं कहा जाएगा ।

(vi). (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)

निम्न प्रश्न के अनुसार
(2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ x² – 11x + 8 = 0
दिया हुआ समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ पे a, b एव् c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 अतः उपरोक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण माना जाएगा ।

(vii). (x + 2)³ = 2r (x² – 1)

निमलिखित प्रश्न के अनुसार
(x + 2)³ = 2x (x² – 1)
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ – 6x² – 14x – 8 = 0
दिया गया समीकरण त्रिघात समीकरण है।
एस समीकरण को हम द्विघात समीकरण नहीं कहेंगे ।

(viii). x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³

निम्नलिखित प्रश्न के अनुसार
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1
⇒ x³ – 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है,क्यों की इसमें a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
तद्पश्चात इस समीकरण को एक द्विघात समीकरण कहेंगे।

प्रश्न 2. नीचे दी गई निम्नलिखित परिस्थितियों को द्विधात समीकरणों के रूप में दरसाईए ।

(i). एक आयात के आकार का भू-खण्ड जिसका क्षेत्रफल 528 m² है। और उसकी क्षेत्र की लम्बाई (m) और चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। इस भू-खण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्या होगी ।

Solve: माना की ,
आयताकार भू भाग की (चौड़ाई x मीटर)
इस दसा मे उपयुक्त प्रश्न के अनुसार
लम्बाई = चौड़ाई + 1 x 2
= 1 + 2x
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
⇒ (2x + 1) × (x) = 528
⇒ 2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अतः यह द्विघात समीकरण 2x² + x – 528 = 0 है, जिसमे x आयताकार भू-भाग की चौड़ाई (m ) मे व्यक्त है।

(ii). दो एक के बाद एक + पूर्णांकों का गुणनफल 306 आता है। तो इसका पूर्णांकों क्या होगा ।

इस दस मे : माना, की दो क्रमसह धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।
तब प्रश्न के अनुसार
x (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: दिया गया द्विघात समीकरण x² + x – 306 = 0 है, जिसमे x एक + पूर्णांक है।

(iii). रोहन की माता रोहन से 26 साल उम्र मे बड़ी है। तब उनकी उम्र (Years) का गुणनफल अब से तीन साल के बाद 360 हो जाएगा। एस दस मे रोहन की वर्तमान आयु क्या होगी ।

उत्तर : माना कि,
रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार
रोहन की माता की वर्तमान आयु = x + 26 वर्ष
एवं (x + 3) (x + 26 + 3) = 360
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः दिया गया द्विघात समीकरण x² + 32x – 273 = 0 है,जिसमे x = रोहन की वर्तमान समय की आयु (वर्षों में) दी गई है ।

(iv). एक Train जो 480 km की दूरी समान चाल पे तय करती है। जब train की चाल 8 km/hr कम हो जाती है तो वह उसी दूरी को पूरा करने में 3 घण्टे अधिक समय लेती। इस दसा मे Train की रफ्तार क्या होगी ?

उत्तर :- माना कि,
Train की चाल x km/hr है।
तो ,
480 km की दूरी पूरा करने में लगा समय = 480𝑥 घण्टे
और 480𝑥 − 8 = 480𝑥 + 3
⇒ 160𝑥−8 – 160𝑥 = 1
⇒ 160x – 160x + 1280 = x (x – 8)
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
दिया हुआ द्विघात समीकरण x² – 8x – 1280 = 0 है, जहाँ x Train की चाल km/hr मे दी गई है ।

प्रश्न 3. गुणनखण्ड विधि द्वारा दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल निकालिए ।

(i). x² – 3x – 10 = 0

उत्तर: प्रश्न के अनुसार
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अन्यथा x + 2 = 0 ⇒ x = -2
दिए गए समीकरण का मूल 5 एवं -2 हैं।

(ii). 2x² + x – 6 = 0

उत्तर :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x (x + 2)- 3 (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
तथा x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अन्यथा 2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2
दिये गए समीकरण के मूल – 2 एवं 3/2 हैं।

(iii). √2x² + 7x + 5√2 = 0

उत्तर:
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2 (√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
तथा √2x + 5 = 0
⇒ x = −5/√2
अन्यथा x + √ 2 = 0
⇒ x = – √2
दिये गए समीकरण का मूल − 5/√2 एवं – √2 है।

(iv). 2x² – x + 18 = 0

उत्तर :
2ײ – x + 18 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)² = 0
⇒ 4x – 1 = 0
⇒ 4x = 1
⇒ x = 1/4
दिये गए समीकरण का मूल 1/4 एवं 1/4 हैं।

(v). 100x² – 20x + 1 = 0

उत्तर :
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x (10x – 1)- 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)² = 0
⇒ 10x – 1 = 0
⇒ 10x = 1
⇒ x = 1/10
दिए गये समीकरण का मूल 1/10 एवं 1/10 हैं।

प्रश्न 4. मोहन और उसकी बहन के पास कुल 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे काही गिरा देते हैं और अब उनके पास मे बचे कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। सुरू मे दोनों के पास कुल कितने कंचे थे ।

उत्तर: मान लीजिए,
मोहन के पास सुरू में x कंचे थे तो उसकी बहन के पास सुरू के कंचों की संख्या = 45 – x
पाँच-पाँच कंचे गिरा देने के बाद दोनों के पास कुल बचे कंचों की संख्या क्रमशः (x – 5) एवं (40 – X) हुई।
प्रश्न के अनुसार (x – 5) (40 – x) = 124
⇒ 40x – x² – 200 + 5x = 124
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 9x – 36x + 324 = 0
⇒ x (x – 9) – 36 (x – 9) = 0
⇒ (x – 9) (x – 36) = 0
तथा x – 9 = 0
⇒ x = 9
अन्यथा x – 36 = 0
⇒ x = 36
माना 9 और 36 का जोड़ 45 है और गुणा करने पर 324 आता है ।
अतः सुरू मे उनके पास 9 और 36 कंचे थे।

प्रश्न 5. एक खिलौने का कारखाना एक दिन में कुछ खिलौने बनाता है। तथा हर एक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन बनए गए खिलौनों की संख्या को घटाने पर प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन के बनाए गए खिलौने का कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। उस दिन के बनाए गए खिलौने की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर :-
माना की किसी किसी एक दिन बनाए गए खिलौनों की संख्या : x है।
चूकि प्रत्येक खिलौने का दाम = ₹ (55 – x)
खिलौनों का कुल दाम x (55 – x) = 750
⇒ 55x – x² = 750
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
तथा x – 25 = 0
⇒ x = 25
अन्यथा x – 30 = 0
⇒ x = 30
अतः उस दिन बनाए गए खिलौनों की संख्या या तो 25 अन्यथा 30 है।

प्रश्न 6. ऐसी दो संख्याएँ पता कीजिए जिनका जोड़ 27 और गुणनफल 182 हो।

उत्तर :- मान की एक संख्या x है,
एस दस मे दूसरी संख्या 27 – x होगी (जबकि जोड़ 27 दिया गया है)
अब प्रश्नानुसार,
x (27 – x) = 182
⇒ 27x – x² = 182
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13) (x – 14) = 0
तथा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अन्यथा x – 14 = 0 ⇒ x = 14
माना की 13 और 14 का योग 27 और गुणनफल 182 है।
प्राप्त संख्याएँ 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 7. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक पता करिए जिनके वर्गों का जोड़ 365 है।
उत्तर :- माना की दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x एवं x + 1 हैं,
तो प्रश्न के अनुसार
(x + 1)² + (x)² = 365
⇒ x² + 2x + 1 + x² = 365
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
तथा x + 14 = 0 ⇒ x = – 14 (जो की एक ऋणात्मक हैं)
अन्यथा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
प्राप्त धनात्मक पूर्णांक संख्या 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 8. एक समकोण त्रिभुज जिसकी ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि उसका कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ का मान क्या होगा ।

उत्तर:
समकोण त्रिभुज जिसका आधार x cm है।
तो त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) cm
प्रश्न के अनुसार ,
पाइथागोरस के प्रमेय के अनुसार: (कर्ण)² =(आधार)² + (ऊँचाई)²
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)² (चूकि: जहा कर्ण = 17 cm दिया है)
⇒ x² + x² – 14x + 49 = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
तथा x + 5 = 0 ⇒ x = -5
अन्यथा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 cm
⇒ ऊँचाई = x = 12 – 7 = 5 cm
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm तथा ऊँचाई = 5 cm है।

प्रश्न 9. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:- मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार x cm है, तो त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) cm
प्रश्नानुसार,
(आधार)² + (ऊँचाई)² = (कर्ण)² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)² (∵ कर्ण = 17 cm दिया है)
⇒ x² + x² – 14x + 49 = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x + 5 = 0 ⇒ x = -5 (जो असम्भव है)
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 cm
⇒ ऊँचाई = x = 12 – 7 = 5 cm
एस प्रकार प्राप्त समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm तथा ऊँचाई = 5 cm है।

प्रश्न 10. एक कारखाना जो की एक दिन में कुछ बर्तनों बनाता है। एक दिन दिन यह देखा गया कि प्रत्येक बन्डल की निर्माण लागत (₹ में) उस विशेष दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस विशेष दिन की कुल बर्तन बनाने की लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित सभी बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत क्या होगी।

उत्तर:- माना उस विशेष दिन बने बर्तनों की संख्या x है,
तो प्रत्येक बर्तन बनाने की लागत = (2x + 3),
पृष के अनुसार ,
कुल खर्च = लागत मूल्य × बर्तनों की संख्या
⇒ (2x + 3) × x = 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x (2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
तथा 2x + 15 = 0
⇒ x = −152
अन्यथा x – 6 = 0
⇒ x = 6
एक बर्तन बनाने की लगात = 2x + 3
= 2 × 6 + 3
= 12 + 3 = 15
निर्मित बर्तनों की प्राप्त संख्या = 6 तथा एक बर्तन की लागत = ₹ 15 है।

निष्कर्ष

आशा है आपको द्विघात समीकरण ( Quadratic Equation in Hindi ) तथा उसकी परिभाषा के बारे मे सम्पूर्ण जानकारी प्राप्त हुई होगी । अगर यह लेख आपको पसंद आया तो अपने दोस्तों और सोशल मीडिया पर जरूर शेयर करे और द्विघात समीकरण किसे कहते हैं । एसके बारे मे सबको बताए ।